|
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ОБ ОТНОШЕНИЯХ ДВУХ ДИСПЕРСИЙ [ test of hypotheses about relations of two dispersions ] Проверка гипотез о том, однородны ли две выборочные дисперсии (можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии), а также гипотез о том, насколько различаются сравниваемые дисперсии.
Пусть в результате наблюдений получены две выборки. По ним вычислены выборочные дисперсии s12 и s22, имеющие f1 и f2 степеней свободы. Будем считать, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией D1, а вторая - из генеральной совокупности с дисперсией D2. Выдвигается нулевая гипотеза H0 о равенстве двух дисперсий D1 и D2, то есть H0: D1 = D2. Для того чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать зна́чимость различия между s12 и s22 при выбранном уровне зна́чимости a.
В качестве критерия зна́чимости обычно используется отношение F = (s12/D1)/(s22/D2). Здесь через s12, D1 обозначается большая из двух дисперсий, s12/s22 >1. Построены таблицы квантилей распределения вероятностей случайной переменной F (F - распределение Р. Фишера, Fisher, Ronald Aylmer, 1890-1962, британский математик) для наиболее употребительных уровней зна́чимости и различных комбинаций f1 и f2. Согласно нулевой гипотезе D1/D2 = 1. Для этого случая должно выполняться одно из трех неравенств. Эти неравенства представляют собой критерии для проверки гипотезы об отношениях дисперсий (F‑критерий Фишера). Первое из неравенств двустороннее: 1/F(Q/2, f1, f2) ≤ 2 F ¢ ≤ F(Q/2, f1, f2). Два других - односторонние: 1/F(Q,f1,f2) ≤ F ¢ и F ¢ ≤ F(Q,f1,f2). Здесь F ¢ = s12/s22; F(Q/2,f1, f2), F(Q,f1,f2) - Q/2-процентная квантиль или Q-процентная квантиль F-распределения, Q = (aЧ100)%. Вероятность любого противоположного неравенства равна уровню зна́чимости.
Если соотношения между D1 и D2 неизвестны, нужно применять двусторонний критерий, то есть проверять, не нарушается ли установленное выше двустороннее неравенство. Так как мы заранее приняли F ¢ = s12/s22 >1, то нарушиться может только правая часть двустороннего неравенства. Поэтому при двустороннем критерии зна́чимости сравнивается F ¢ со значением F(Q/2, f1, f2), взятым из таблицы (Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., Изд. АН СССР, 1988, табл. 3.5, Большев Логин Николаевич - советский математик, 1922-1978, Смирнов Николай Васильевич, советский математик, 1900-1966). Нулевая гипотеза H0: D1 = D2 отвергается в пользу альтернативы H1: D1№D2, тогда, когда F ¢ > F(Q/2, f1, f2).
Если заранее известно, что неравенство D1<D2 определенно невозможно, то нужно применять односторонний критерий, сравнивая отношение F ¢ с одним из односторонних неравенств, сформулированных выше. Нулевая гипотеза H0: D1 = D2 отвергается в пользу альтернативы H1: D2<D1, если F ¢ >F(Q,f1,f2).
Аналогично поступают, когда заранее известно, что неравенство D2<D1 определенно невозможно. Тогда нулевая гипотеза H0: D1 = D2 отвергается в пользу альтернативы H2: D1<D2, если 1/F ¢ >F(Q,f1,f2).
Пример 1. Пусть поставлена задача, сравнить эффективность обучения двух учащихся. Эффективность обучения оценивается двумя показателями: уровнем текущей успеваемости и стабильностью (устойчивостью) успеваемости. Оба этих показателя являются сущностными, но не просто формальными показателями. Уровень успеваемости - характеризует уровень управления процессом обучения, а дисперсия качество управления обучением, степень организованности (учащимся и учителем) процесса обучения. Оба показателя являются независимыми и в общем случае должны рассматриваться совместно.
Уровень успеваемости (математическое ожидание) каждого учащегося характеризуется средними арифметическими `x 1 и `x 2 из оценок (четырехбалльная шкала: 2, 3, 4, 5), выставляемых преподавателем, а стабильность характеризуется соответствующими выборочными дисперсиями оценок: s12 и s22. При оценке уровня текущей успеваемости оказалось, что он одинаков у обоих учащихся:`x 1 = `x 2 = 4,0. Выборочные дисперсии: s12 = 0,50 и s22 = 0,08. Числа степеней свободы, соответствующие этим оценкам: f1 = 24, f2 = 30. Отсюда, из двух теоретически возможных характеристик (которые всегда следует рассматривать совместно) для установления различий в эффективности обучения мы можем воспользоваться только одной - стабильностью успеваемости. Проверим гипотезу H0: D1 = D2. Предполагается, что как первый, так и второй учащийся имеют равные индивидуальные и внешние организационные возможности относительно стабильности успеваемости, и нет оснований для того, чтобы заранее предпочесть одну из альтернатив: H1: D2<D1 или H2: D1<D2. Поэтому выбираем альтернативу: H1: D1№D2. Вычислим F ¢ = s12/s22 (в числителе должна быть большая дисперсия), F ¢ = 0,5/0,08; F ¢ = 6,25. По таблицам находим F(Q/2 = 2,5%; f1 = 24; f2 = 30) = 2,1359. Поскольку вычисленное значение F ¢ больше табличного F(Q/2 = 2,5%; f1 = 24; f2 = 30), нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы H1: D1№D2. Это заключение может не удовлетворить исследователя, поскольку его может интересовать какова же истинная величина отношения D1/D2. Тогда следующим этапом статистического исследования будет оценка истинной величины отношения дисперсий, то есть построение двусторонних доверительных интервалов для этого отношения.
Пример 2. Поставлена задача, аналогичная описанной в примере 1, но относительно двух других учащихся. На основании данных текущей успеваемости получены оценки:`x 1 = 3,5;`x 2 = 4,8; s12 = 0,45; s22 = 0,07; f1 = 24; f2 = 30. Психологические исследования, предшествующие наблюдения за результатами обучения и разница в уровне текущей успеваемости свидетельствуют о том, что большей выборочной дисперсии не может соответствовать меньшая генеральная дисперсия. Следовательно, задача представляет собой проверку гипотезы H0: D1 = D2 при альтернативной гипотезе: H1: D2<D1. Это требует применения одностороннего критерия. Вычислим отношение F ¢ = s12/s22 (в числителе должна быть большая дисперсия). F ¢ = 0,45/0,07. F ¢ = 6,43. По таблицам находим F(Q = 5%; f1 = 24; f2 = 30) = 1,8874. Поскольку вычисленное F ¢ больше табличного F(Q = 5%; f1 = 24; f2 = 30), нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы. На основании данного статистического исследования с вероятностью g = 0,95 можно утверждать, что стабильность успеваемости, а следовательно, и эффективность обучения первого учащегося выше, чем второго. Это заключение может показаться исследователю неполным, поскольку его может интересовать величина отношения D1/D2. Тогда следующим этапом статистического исследования будет оценка величины отношения дисперсий, то есть построение двусторонних доверительных интервалов для отношения неизвестных дисперсий.
Рассмотренные вычисления могут быть легко сделаны с помощью статистических программ для персональной ЭВМ. Из многочисленных статистических программ можно рекомендовать хорошо известные программы:
- Statistica (URL: http://www.statsoftinc.com/textbook/stathome.html) или
- SPSS (URL: http://www.spssscience.com/spss11).
|
«Я У Ч Е Н Ы Й И Л И . . . Н Е Д О У Ч К А ?»
Т Е С Т В А Ш Е Г О И Н Т Е Л Л Е К Т А
Предпосылка:
Эффективность развития любой отрасли знаний определяется степенью соответствия методологии познания - познаваемой сущности.
Реальность:
Живые структуры от биохимического и субклеточного уровня, до целого организма являются вероятностными структурами. Функции вероятностных структур являются вероятностными функциями.
Необходимое условие:
Эффективное исследование вероятностных структур и функций должно основываться на вероятностной методологии (Трифонов Е.В., 1978,..., ..., 2015, …).
Критерий: Степень развития морфологии, физиологии, психологии человека и медицины, объём индивидуальных и социальных знаний в этих областях определяется степенью использования вероятностной методологии.
Актуальные знания: В соответствии с предпосылкой, реальностью, необходимым условием и критерием...
...
о ц е н и т е с а м о с т о я т е л ь н о:
— с т е п е н ь р а з в и т и я с о в р е м е н н о й н а у к и,
— о б ъ е м В а ш и х з н а н и й и
— В а ш и н т е л л е к т !
|
♥ Ошибка? Щелкни здесь и исправь ее! Поиск на сайте E-mail автора (author): tryphonov@yandex.ru
|