ДВУСТОРОННИЙ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
[ two-sided confidence interval for mathematical expectation ]

     Двусторонние граничные значения для математического ожидания.
     Пусть случайная величина - количественный признак X распределена нормально, причем среднее квадратичное отклонение s и математическое ожидание a этого распределения неизвестны. Из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над признаком X извлечена выборка объёма n. Значения признака X :  x₁,x₂, ... , x_n. Частоты появления этих значений: n_i :  n₁, n₂, ..., n_k. Причем, n₁ + n₂ +...+ n_k = n. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a и найти доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью g.
     Выберем в качестве оценки математического ожидания a  выборочную среднюю`x,  а в качестве оценки среднеквадратичного отклонения s величину  s = Ц{(1/(n -1)) · n <sub>i</sub> (x <sub>i</sub>  -`x )²},  где i = 1, 2, ..., k.  Тогда доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр a  с надежностью g, определится как:

`x  - t<sub>1 - a/2</sub>(s / Цn)  Ј  a  Ј `x + t_{1 - a/2}(s / Цn).

     Здесь t_{1 - a/2} - симметричные значения функции t -распределения Стъюдента, соответствующие уровню зна́чимости
a = 1- g,  или то же, что Q/2%-ная квантиль этого распределения {Q = (1-g) · 100%}.
     Распределение Стъюдента зависит от объёма выборки - n  и не зависит от математического ожидания - a  и среднего квадратичного отклонения - s.
     Имеются готовые таблицы, пользуясь которыми, по заданным t_1-a/2  и  n находят вероятность g или по заданным g   (или a = 1 - g),  и  n  находят соответствующие квантили  t_{1 - a/2}.
     Пример 1. Предполагается, что количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По данным выборки объёмом n = 16  вычислены оценка математического ожидания `x = 20,2  и оценка среднеквадратичного отклонения  s = 0,8.  Необходимо на основании имеющихся точечных оценок `x   и  s  сделать двустороннюю интервальную оценку неизвестного математического ожидания - a  с надежностью g = 0,95.
     Пользуясь таблицей (Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, Изд. АН СССР, 1988, табл. 3.2, Большев Логин Николаевич – советский математик, 1922‑1978, Смирнов Николай Васильевич, советский математик, 1900‑1966), для g = 0,95 (a = 0,05;  Q = (1 - g) · 100% = 5%,   Q/2 = 2,5%)  и  n = 16 находим  t_{1 - a/2} = 2,1199. Вычислим искомые доверительные границы: `x - t<sub>1 - a/2</sub>(s / Цn) = 20,2 - 2,1199  ·  (0,8 / Ц16) = 19,77602;  `x + t_{1 - a/2}(s / Цn) = 20,62398.
     Итак, неизвестный параметр - математическое ожидание a  с вероятностью g = 0,95  заключен в доверительном интервале 19,77602  Ј  a  Ј  20,62398. Это означает, что значение выборочного среднего `x с вероятностью  g = 0,95 (в 95% случаев осуществления повторных выборок)  будет заключено в этих пределах. Такой прогноз может оказаться полезным в психофизиологических исследованиях. Именно эти доверительные интервалы (а не нередко используемые ± s / Цn, характеризующие изменчивость только в пределах данной выборки!) принято показывать на графиках, иллюстрирующих зависимости математического ожидания от других переменных, в случаях, когда хотят описать общую закономерность, доказать правомерность применимости выводов к любым другим однородным данным.
     В некоторых задачах требуется найти только один из односторонних доверительных интервалов для математического ожидания, то есть оценку только его нижнего вероятного предела или оценку только верхнего вероятного предела. Эти пределы находятся подобным образом, естественно, с учетом того, что в расчетах следует пользоваться не Q/2% - ной, а Q% - ной квантилью t -распределения Стъюдента.
     Рассмотренные вычисления могут быть легко сделаны с помощью статистических программ для персональной ЭВМ. Из многочисленных статистических программ можно рекомендовать хорошо известные программы:
     - Statistica (URL: http://www.statsoftinc.com/textbook/stathome.html) или
     - SPSS (URL: http://www.spssscience.com/spss11).