ДОКАЗАТЕЛЬСТВО [ proof ]

     Процесс и результат обоснования истинности суждения, системы суждений или теории с помощью логических умозаключений и практическими средствами (наблюдение, эксперимент, производственная и социальная деятельность).
     В доказательстве обычно выделяют:
     (а) посылки, которые называют также основаниями, аргументами или доводами;
     (б) умозаключения, с помощью которых осуществляется логический вывод;
     (в) тезис доказательства, установление истинности которого является конечной целью доказательства.
     Посылки доказательства считаются истинными суждениями, хотя установление их истинности не входит в задачу доказательства. Умозаключение переносит истинность посылок на тезис доказательства, а сам процесс доказательства называется демонстрацией тезиса.
     Классификация доказательств может проводиться по различным основаниям. Так, например, по цели различают доказательства, ставящие своей задачей установление истинности тезиса или обоснование его ложности, т. е. опровержения. По способу демонстрации тезиса существуют доказательства прямые и косвенные. По виду объектов, с которыми оперируют доказательства, различают эмпирические и дедуктивные доказательства.
     Исторически первыми были доказательства, опирающиеся на непосредственные суждения опыта (факты, данные наблюдения, практика). Затем в качестве посылок доказательств стали использоваться результаты экспериментов и измерений соответствующих величин. Все доказательства, связанные с обращением к опыту, наблюдениям и экспериментам, называются эмпирическими.
     Дедуктивные доказательства отличаются от эмпирических тем, что они имеют дело с абстрактными объектами; оперирование с ними исключает возможность непосредственного обращения в доказательстве к опыту, поэтому здесь обращаются к логической дедукции. Подобные доказательства используют в математике. Поскольку в дедукции все утверждения доказать невозможно, некоторые утверждения в рамках определенных математических теорий принимаются без доказательства. Такие утверждения называются аксиомами или постулатами. Аксиоматический метод даёт возможность систематизировать доказательства, в результате чего всякое доказательство можно представить в виде цепочки логических выводов, в которой каждое заключение либо выводится из аксиом, либо логически следует из ранее доказанной теоремы. Последнее заключение в этой цепочке является доказательством соответствующего тезиса.
     В научном познании нередко возникает необходимость формализации доказательства. С этой целью не только перечисляют все аксиомы, но и в явном виде указывают правила вывода теорем из аксиом. Дальнейший шаг в формализации доказательства состоит в том, чтобы отвлечься от конкретного содержания (или смысла) понятий и суждений, фигурирующих в доказательстве, и представить их в виде формул определенного символического языка. Затем некоторые формулы выбираются в качестве исходных, или аксиом. Применяя к ним правила преобразования одних формул в другие, которые соответствуют правилам дедукции, получают все последующие формулы, отображающие теоремы содержательного доказательства. Таким образом содержательное доказательство превращается в формальное доказательство. Однако содержательный анализ доказательства продолжает сохранять свой приоритет перед формальным: сами правила вывода, или преобразования, описываются на обычном, содержательном языке; при исследовании свойств формальной системы доказательства в рамках метатеории используют конкретные, содержательные способы рассуждений; содержательная теория, даже такая сравнительно простая, как арифметика целых чисел, не может быть полностью формализована.
     В логике принято отличать дедуктивные доказательства от недедуктивных рассуждений (аналогия, индукция, статистические выводы), посылки которых лишь в той или иной степени подтверждают заключение или делают его более или менее вероятным или правдоподобным. Поэтому, в отличие от дедукции, заключения недедуктивных рассуждений не могут быть полностью отделены от посылок. Вероятность их истинности определяется числом и разнообразием посылок, которые преимущественно являются фактами наблюдений или экспериментов. Именно правдоподобные рассуждения, опирающиеся на опытные факты, играют решающую роль в эмпирическом доказательстве.
     Несмотря на различия, существующие между доказательством математики и опытных наук, их нельзя противопоставлять друг другу и тем более абсолютизировать. Хотя математические доказательства непосредственно не опираются на опыт и практику, однако именно последняя служит основой для образования её фундаментальных понятий и суждений, в том числе аксиом. В ходе практического применения математики в естественных, технических и общественных, науках проверяется соответствие теорий действительности и тем самым их обоснованность и доказательность. С другой стороны, дедуктивные доказательства находят применение в опытных науках, особенно в таких развитых, как астрономия, физика, химия, молекулярная биология и др.
     В реальной практике научного познания дедуктивные и эмпирические доказательства часто выступают во взаимосвязи друг с другом. В процессе доказательства теория и практика диалектически взаимодействуют друг с другом. Однако решающая роль в установлении объективной истины принадлежит практике.