ВЫБОРОЧНАЯ КВАНТИ́ЛЬ [ sampling quantiles ]

     Кванти́ль (женский род, ударение на последнюю гласную «и»), вычисленная по выборочным данным.
     Квантили выборки могут использоваться в качестве нормативов в профессиональном отборе, если необходимые физиологические, психологические, социологические директивные нормативы отсутствуют или, по каким-либо причинам, их использование невозможно. В этой связи, для понимания сущности квантилей и их практического значения, полезно рассмотреть процедуру вычисления выборочных квантилей.
     Пример. Необходимо для обучения в ВВУЗе из 165 абитуриентов отобрать 132 кандидата с наиболее высокими показателями профессионально-важных качеств. Все претенденты обследованы с использованием комплекса физиологических, психологических и социологических методик. Чтобы иметь возможность получить компактную интегральную оценку сразу всех профессионально-важных качеств каждого абитуриента, их данные по каждой методике комплекса нормализованы (стандартизованы). Для этого вначале все показатели предварительно согласованы с качествами личности так, чтобы большим значениям показателей соответствовали более высокие значения качества личности или результаты деятельности. Затем осуществлено линейное преобразование показателей, для того, чтобы все показатели, которые получены с помощью разных шкал, привести к единой шкале. В качестве такого преобразования выбрано наиболее универсальное Z-преобразование. Одна интегральная оценка всех профессионально-важных качеств представляла собой среднее значение всех Z-оценок каждого кандидата. Результаты сгруппированы в таблицу распределения частот Z-оценок интегральных качеств абитуриентов.
     Обозначения: j - номер показателя, Z - интегральные оценки профессионально-важных качеств, f - число обследуемых (частоты), Сf_j - накопленные частоты. 

J	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Z	2,89	2,48	2,07	1,66	1,25	0,84	0,43	0,02	-0,39	-0,80	-1,22	-1,63	-2,04	-2,45	-2,86
f	1	2	4	7	12	12	22	32	29	22	13	5	2	0	2
Cfj	165	164	162	158	151	139	127	105	73	44	22	9	4	2	2

     Задача может быть сформулирована так: каково минимальное значение интегрального показателя - Z профессионально-важных качеств, которое могло бы послужить основанием для приема 132 (80%) из 165 абитуриентов? Иначе: ниже какой границы распределения значений Z расположены 20% обследуемых с худшими показателями? Аналогично: какова 20 я процентиль (Z_20%) распределения выборки переменной Z?
     Этапы решения.
     1. Вычислить накопленные частоты Cf_j. Так, Cf₁₅ = f₁₅; Cf₁₅ = 2; Cf₁₄ = Cf₁₅+f₁₄; Cf₁₄ = 2; Cf₁₃ = Cf₁₄ + f₁₃; Cf₁₃ = 4; ... ; Cf₁ = Cf₂ + f₁; Cf₁ = 165.
     2. Определить количество обследуемых, соответствующих P - процентам (P = 20%) всех абитуриентов. Это есть частота Cf (Z_p), накопленная в ряду Z_j, к достижению 20-й процентили (Z₂₀): Cf (Z_p) = (p/100)·е·f_j; Cf (Z₂₀) = (20/100)·165; Cf (Z₂₀) = 33.
     3. Определить ширину интервала Vf  накопленных частот, к которому принадлежит частота Cf (Z_p). Эта частота расположена в интервале накопленных частот от minCf_j  до maxCf_j :  f = minCf_j  - maxCf_j. В нашем случае minCf_j = Cf₁₁ = 22; maxCf_j = Cf₁₀, maxCf_j = 44. Отсюда Vf = Cf₁₀ - Cf₁₁; Vf = 44 - 22 = 22.
     4. Определить dV - количество оценок Z, лежащее в интервале от Z_p до Z_min - ближайшего к Z_p наименьшего значения Z_j :  dV = Cf (Z_p)-Cf (Z_min).  Здесь Cf (Z_min) - накопленная частота, соответствующая Z_min.  В нашем случае Z_min = Z₁₁; Z_min = (-1,22).  Отсюда Cf (Z_min) = 22; dV = 33-22; dV = 11.
     5. Определить ширину интервала - W_z значений Z_j, где расположена 20-ая процентиль - Z₂₀: W_z = Z_max - Z_min. В нашем случае: Z_max = Z₁₀, Z_min = Z₁₁, W_z = (-0,8) - (-1,22), W_z = 0,42. Очевидно, что справедливы отношения: dV / Vf  = dZ / W_z. Здесь dZ - разница между Z_p и Z_min.
     6. Исходя из пропорции dV / Vf = dZ / W_z, определить dZ: dZ = W_z·dV / Vf, dZ = 0,5·0,42 = 0,21.
     7. Найти p-тую процентиль. Она будет равна сумме ближнего к Z_p наименьшего значения Z_min и разницы dZ: Z_p = Z_min + dZ. В нашем случае Z₂₀ = Z₁₁ + dZ. Z₂₀ = (-1,22) + 0,21, Z₂₀ = (-1,01).
     Отсюда, общая формула для вычисления выборочных процентилей: Z_p = Z_min + W_z·dV / Vf. Она может быть применена как к негруппированным, так и к сгруппированным данным. В последнем случае процедура вычисления точно та же, только вместо W_z используется значение внутригруппового интервала, в котором располагается искомая p -ая процентиль.
     Таким образом, нахождение границы, разделяющей интервал, в котором располагается искомая процентиль, представляет собой задачу интерполяции. Она решается в предположении, что распределение частот внутри данного интервала равномерно. Принятие данного предположения существенно упрощает вычисления, хотя и обусловливает небольшую ошибку.
     На основании вычислений можно сделать вывод: в обследуемой группе из 165 абитуриентов 20% обследуемых имели интегральные оценки профессионально-важных качеств ниже значения Z = (-1,01).
     Для того чтобы удовлетворить первоначальное условие положительного решения при профессиональном отборе, следует рекомендовать администрации ВВУЗа отказать в приеме на обучение всем претендентам с интегральным показателем ниже значения Z = (-1,01).
     Рассмотренные вычисления могут быть легко сделаны с помощью статистических программ для персональной ЭВМ. Из многочисленных статистических программ можно рекомендовать хорошо известные программы:
     - Statistica (URL: http://www.statsoftinc.com/textbook/stathome.html) или
     - SPSS (URL: http://www.spssscience.com/spss11).