НОРМИРОВАННАЯ (СТАНДАРТИЗОВАННАЯ) ВЕЛИЧИНА [ normalized/standartized variable ]

     (Лат.: norma - норма, руководящее начало, правило, образец; 1821)
     Во многих вопросах теории вероятностей, математической статистики и их приложений в психофизиологии, целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную (стандартизованную) величину Z, которая определяется как отношение отклонения к среднему квадратичному отклонению: Z = (X - M ( X )) / s_x. Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю ( M (Z) = 0 ) и дисперсию, равную единице ( D (Z) = 1). Очевидно, что Z-преобразование величины X является линейным.
     Рассмотрим пример применения Z-преобразования в психодиагностике.
     Разные психодиагностические тесты могут иметь переменные разного масштаба. Отсюда, параметры распределений вероятностей показателей, описывающих объект исследования, так же будут иметь разный масштаб. Сопоставить такие параметры без предварительной стандартизации и сделать по ним выводы невозможно. Стандартизация заключается в осуществлении двух шагов.
     На первом шаге, распределения вероятностей переменных, описывающих результаты применения нескольких разных методик, необходимо привести к единому положению на оси абсцисс. Для этого по каждому ряду значений разных переменных следует вычислить оценку математического ожидания - выборочное среднее и из каждого значения переменной вычесть соответствующее ей среднее.
     Пусть имеются данные применения трех методик в виде трех выборок: x _i :  x₁, x₂,..., x _m;  y _i :  y₁, y₂,..., y _n;  u _i : u₁, u₂,..., u _k. Выборочные средние:`x = (1/m) Чеx <sub>i</sub> ;  `y = (1/n) Чеy _i ; `u = (1/k) Чеu <sub>i</sub> ;  где x <sub>i</sub>, y <sub>i</sub>, u <sub>i</sub> - i -тые элементы соответствующих выборок, i = 1, 2, 3,..., (m, n, k) - размеры (объёмы) выборок. Результат преобразования: x <sub>i</sub>ў = x <sub>i</sub> -`x ;   y _iў = y _i -`y ;
  u <sub>i</sub>ў = u <sub>i</sub> -`u ;.
     Вторым шагом является стандартизация формы кривых распределений (стандартизация дисперсий). Для этого каждое значение переменных преобразованных рядов x _iў,  y _iў, u _iў следует поделить на соответствующую данной переменной оценку среднеквадратичного отклонения: x _iў / s_x,  y _iў / s_y,  u _iў / s_u,  где s_x = Ц((1/(m -1)) Че(x _i -`x )<sup>2</sup>),
s<sub>y</sub> = Ц((1/(n -1))Че(y <sub>i</sub> -`y )²), s_u  = Ц((1/(k -1)) Че(u _i -`u )²). В итоге разные переменные X, Y, U будут преобразованы в одну Z переменную одного масштаба, то есть каждое из исходных распределений будет стандартизовано (нормализовано) и будет иметь одинаковые параметры - математическое ожидание, равное нулю, дисперсию и среднеквадратичное отклонение, равное единице: M(Z) = M(X) = M(Y) = M(U) = 0;  D(Z) = D(X) = D(Y) = D(U) = 1,  s_z = s_x = s_y = s_u = 1.
     Таким образом, стандартизация с помощью Z-преобразования обеспечивает приведение всех данных к одному масштабу. Результаты применения трех методик становятся сопоставимыми, согласованными.
     В данной процедуре есть следующая особенность. Нередко каждая психологическая методика может применяться на каждом обследуемом однократно. Иначе говоря, возможность получить значения выборочных средних и среднеквадратичных отклонений на одном испытуемом (индивидуальная норма, стандарт) отсутствует. Для того чтобы, тем не менее, получить представления об этих величинах, можно использовать соответствующие оценки, вычисленные по данным эталонной (нормативной, стандартной) группы. То есть вместо нескольких наблюдений на одном испытуемом можно использовать несколько наблюдений на однородной группе, по одному на каждом обследуемом. В частности, такой групповой нормой (стандартом) может быть ежегодная норма, основанная на данных обследования всех абитуриентов ВУЗа (стандарт ВУЗа.) Естественно, эта процедура проводится в предположении, что все обследуемые, в том числе и те, относительно которых проводится процедура стандартизации, представляют собой однородную группу.
     Некоторым исследователям (Cattell, Raymond Bernard, 1905-?, Великобритания, США, психолог) кажется не всегда удобным использовать на практике Z-преобразование. Поэтому нередко вместо него используют другие, в некоторой степени подобные ему преобразования. К ним можно отнести преобразования, образующие S-шкалу стэнов Кеттелла (1970): S = 2Z+5,5, имеющую распределение с математическим ожиданием M(S) = 5,5 и дисперсией D(S) = 4; С-шкалу Гилфорда (1973, Guilford, Joy Paul, 1897-?, США, психолог): C = 2Z+5,  c  M(C) = 5 и D(C) = 4; IQ-шкалy Векслера (1955, тест интеллекта, Wechsler, David, 1896-1981, США, психолог): IQ = 15Z+100,  c  M(IQ) = 100 и s(IQ) = 15; T-шкалу Макколла (1922, McCall): T = 10Z+50,  с  M(T) = 50 и s(T) = 10. Аналогично, на основе Z-преобразования может быть создана любая другая подобная шкала с центром распределения, расположенным в точке M и формой распределения, определяемой величиной D (или s). Общее выражение, используемое в этих целях: V_i = s_vЧZ _i+M. Здесь V_i - значения преобразованной переменной, s_v - задаваемое среднеквадратичное отклонение новой V-шкалы, M - задаваемое математическое ожидание новой V-шкалы, Z_i - значение тестовой оценки i-го испытуемого, полученное после Z-преобразования (i = 1,2,3,..., k).
     Отметим две особенности всех этих шкал. Первая - в их основе лежит Z-преобразование, то есть все они являются производными Z-шкалы. Это частные варианты, применимые только к той методике, для которой они созданы. Например, для создания универсального интегрального показателя, характеризующего профессионально-важные качества, эти шкалы неприменимы. Наоборот, Z-преобразование является универсальным. Именно поэтому его применение называют нормализацией или стандартизацией.
     Второй особенностью частных преобразований является то, что они образуют шкалы усеченные, имеющие искусственные пределы сверху и снизу. Если это и создает мнимое удобство, то за счет искажения истинного положения вещей, поскольку эти шкалы не покрывают весь континуум исследуемого признака, а вырезают лишь среднюю его часть. Z-преобразование и соответствующая шкала лишены этих недостатков. Предполагаемое неудобство Z-шкалы заключается якобы в том, что числа в ней могут быть как положительными, так и отрицательными. Однако наличие знака у значений исследуемой переменной, является не помехой, а наоборот, качеством положительным, так как дает возможность легко увидеть положение любого конкретного значения показателя относительно центра распределения его вероятностей. Знак указывает, где расположено данное значение показателя, справа или слева от центра распределения, а его абсолютное значение (само число) показывает расстояние от центра распределения. То есть представление показателей с помощью Z-шкалы в действительности является значительно более наглядным, чем их представление с помощью шкалы стэнов или любой другой производной шкалы, значения которой только положительны.